समाकलन int_0^pi frac{8 x , dx}{4 cos^2 x + si | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^\pi \frac{8 x \, dx}{4 \cos^2 x + \sin^2 x}$.गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_0^\

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$2 \pi^2$

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(A) माना $I = \int_0^\pi \frac{8 x \, dx}{4 \cos^2 x + \sin^2 x}$.गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_0^\pi \frac{8(\pi - x) \, dx}{4 \cos^2(\pi - x) + \sin^2(\pi - x)} = \int_0^\pi \frac{8(\pi - x) \, dx}{4 \cos^2 x + \sin^2 x}$.दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:$2I = \int_0^\pi \frac{8x + 8\pi - 8x}{4 \cos^2 x + \sin^2 x} \, dx = 8\pi \int_0^\pi \frac{dx}{4 \cos^2 x + \sin^2 x}$.चूँकि फलन $\pi/2$ के सापेक्ष सममित है,$2I = 8\pi 	imes 2 \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{4 \cos^2 x + \sin^2 x}$.अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:$I = 8\pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x \, dx}{4 + 	an^2 x}$.माना $t = 	an x$,तब $dt = \sec^2 x \, dx$. जब $x 	o 0, t 	o 0$ और जब $x 	o \pi/2, t 	o \infty$.$I = 8\pi \int_0^\infty \frac{dt}{4 + t^2} = 8\pi \left[ \frac{1}{2} 	an^{-1}\left(\frac{t}{2}ight) ight]_0^\infty$.$I = 4\pi \left( \frac{\pi}{2} - 0 ight) = 2\pi^2$.

List-$I$	List-$II$
$I. \int_{-1}^1 x\|x\| dx$	$(a) \frac{\pi}{2}$
$II. \int_0^{\pi/2} \left(1 + \log \left(\frac{4+3\sin x}{4+3\cos x}\right)\right) dx$	$(b) \int_0^a 2f(x) dx$
$III. \int_0^a f(x) dx$	$(c) \int_0^a [f(x) + f(-x)] dx$
$IV. \int_{-a}^a f(x) dx$	$(d) 0$
	$(e) \int_0^a f(a-x) dx$

समाकलन $\int_0^\pi \frac{8 x \, dx}{4 \cos^2 x + \sin^2 x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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