int_{pi}^{16pi} |sin x| dx = | vedclass

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Question

(C) फलन $f(x) = |\sin x|$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $\pi$ है। हम जानते हैं कि $\int_{a}^{a+nT} f(x) dx = n \int_{0}^{T} f(x) dx$, जहाँ $T$ आवर्त

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$30$

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(C) फलन $f(x) = |\sin x|$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $\pi$ है। हम जानते हैं कि $\int_{a}^{a+nT} f(x) dx = n \int_{0}^{T} f(x) dx$, जहाँ $T$ आवर्तकाल है। यहाँ, अंतराल की लंबाई $16\pi - \pi = 15\pi$ है। अतः, $\int_{\pi}^{16\pi} |\sin x| dx = 15 \int_{0}^{\pi} |\sin x| dx$. चूँकि $x \in [0, \pi]$ के लिए $\sin x \ge 0$ है, इसलिए $|\sin x| = \sin x$ होगा। अतः, $15 \int_{0}^{\pi} \sin x dx = 15 [-\cos x]_{0}^{\pi}$. $= 15 [-\cos(\pi) - (-\cos(0))] = 15 [-(-1) - (-1)] = 15 [1 + 1] = 15 	imes 2 = 30$.

$\int_{\pi}^{16\pi} |\sin x| dx = $

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$\int_{\log \frac{1}{2}}^{\log 2} \sin \left(\frac{e^x-1}{e^x+1}\right) d x=$

$\int_0^{\pi / 4} \log (1+\tan x) d x=$

$\int_{\frac{-3\pi}{2}}^{\frac{-\pi}{2}} \left[ (x+\pi)^3 + \cos^2(x+3\pi) \right] dx = $

$\int_0^1 \log \left(\frac{1}{x}-1\right) d x=$

मान लीजिए कि $f$ और $g$ अंतराल $[0, a]$ पर सतत फलन हैं,इस प्रकार कि $f(x)=f(a-x)$ और $g(x)+g(a-x)=4$,तो $\int_0^a f(x) g(x) d x$ का मान क्या होगा?

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