माना I_{n} = int_{1}^{e} x^{19}(log |x|)^{n} | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $I_{n} = \int_{1}^{e} x^{19}(\log |x|)^{n} dx$.खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = (\log |x|)^{n}$ और $dv = x^{

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$1$

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(B) दिया गया है $I_{n} = \int_{1}^{e} x^{19}(\log |x|)^{n} dx$.खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = (\log |x|)^{n}$ और $dv = x^{19} dx$ लें। तब $du = n(\log |x|)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = \frac{x^{20}}{20}$ प्राप्त होता है।$I_{n} = \left[ \frac{x^{20}}{20} (\log |x|)^{n} \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{20}}{20} \cdot n(\log |x|)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx$.$I_{n} = \frac{e^{20}}{20} - \frac{n}{20} I_{n-1}$.दोनों पक्षों को $20$ से गुणा करने पर,$20 I_{n} = e^{20} - n I_{n-1}$ प्राप्त होता है।$n=10$ के लिए,$20 I_{10} = e^{20} - 10 I_{9}$.$n=9$ के लिए,$20 I_{9} = e^{20} - 9 I_{8}$,जिसका अर्थ है कि $e^{20} = 20 I_{9} + 9 I_{8}$.$e^{20}$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $20 I_{10} = (20 I_{9} + 9 I_{8}) - 10 I_{9} = 10 I_{9} + 9 I_{8}$.$20 I_{10} = \alpha I_{9} + \beta I_{8}$ से तुलना करने पर,$\alpha = 10$ और $\beta = 9$ प्राप्त होता है।अतः,$\alpha - \beta = 10 - 9 = 1$.

माना $I_{n} = \int_{1}^{e} x^{19}(\log |x|)^{n} dx$,जहाँ $n \in N$ है। यदि $(20) I_{10} = \alpha I_{9} + \beta I_{8}$,प्राकृत संख्याओं $\alpha$ और $\beta$ के लिए है,तो $\alpha - \beta$ का मान ..... है।

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