int_{0}^{pi} log (1+cos x) d x का मान ज्ञात क | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{0}^{\pi} \log (1+\cos x) d x \dots (i)$ गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{0}^

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$\pi \log \frac{1}{2}$

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(B) माना $I = \int_{0}^{\pi} \log (1+\cos x) d x \dots (i)$ गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{0}^{\pi} \log (1+\cos(\pi-x)) d x = \int_{0}^{\pi} \log (1-\cos x) d x \dots (ii)$ $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $2I = \int_{0}^{\pi} [\log(1+\cos x) + \log(1-\cos x)] d x$ $2I = \int_{0}^{\pi} \log(1-\cos^2 x) d x = \int_{0}^{\pi} \log(\sin^2 x) d x$ $2I = 2 \int_{0}^{\pi} \log(\sin x) d x$ $I = \int_{0}^{\pi} \log(\sin x) d x$ गुणधर्म $\int_{0}^{2a} f(x) d x = 2 \int_{0}^{a} f(x) d x$ का उपयोग करने पर यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो: $I = 2 \int_{0}^{\pi/2} \log(\sin x) d x$ चूंकि $\int_{0}^{\pi/2} \log(\sin x) d x = -\frac{\pi}{2} \log 2$: $I = 2 	imes (-\frac{\pi}{2} \log 2) = -\pi \log 2 = \pi \log(\frac{1}{2})$

$\int_{0}^{\pi} \log (1+\cos x) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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समाकलन $I = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} \frac{dx}{1+\sqrt[3]{\tan 2x}}$ का मान है:

समाकलन $\int_0^\pi \frac{8 x \, dx}{4 \cos^2 x + \sin^2 x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $M = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{x+2} dx$ और $N = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{(x+1)^{2}} dx$ है, तो $M-N$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{1} x(1-x)^{5} dx =$

$\int_{-\frac{\pi}{8092}}^{\frac{\pi}{8092}} \frac{\sec (2023 x)}{1+(2023)^{(2023 x)}} d x=$

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