यदि f(x) = frac{x^3+5}{sqrt{12+x}} और int_{-5 | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-5}^5 \frac{x^3+5}{\sqrt{12+x}} dx$. गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{-5}^5 \frac{(-

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$\frac{5-x^3}{\sqrt{12-x}}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{-5}^5 \frac{x^3+5}{\sqrt{12+x}} dx$. गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{-5}^5 \frac{(-5+5-x)^3+5}{\sqrt{12+(-5+5-x)}} dx = \int_{-5}^5 \frac{-x^3+5}{\sqrt{12-x}} dx$. $I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I = \int_{-5}^5 \left( \frac{x^3+5}{\sqrt{12+x}} + \frac{5-x^3}{\sqrt{12-x}} \right) dx$. चूँकि फलन सम है,हम लिख सकते हैं: $2I = 2 \int_0^5 \left( \frac{x^3+5}{\sqrt{12+x}} + \frac{5-x^3}{\sqrt{12-x}} \right) dx$. अतः,$I = \int_0^5 \left( \frac{x^3+5}{\sqrt{12+x}} + \frac{5-x^3}{\sqrt{12-x}} \right) dx$. दिया गया है कि $\int_{-5}^5 f(x) dx = \int_0^5 (f(x) + g(x)) dx$,तुलना करने पर: $\int_0^5 (f(x) + g(x)) dx = \int_0^5 \left( \frac{x^3+5}{\sqrt{12+x}} + \frac{5-x^3}{\sqrt{12-x}} \right) dx$. अतः,$g(x) = \frac{5-x^3}{\sqrt{12-x}}$.

यदि $f(x) = \frac{x^3+5}{\sqrt{12+x}}$ और $\int_{-5}^5 f(x) dx = \int_0^5 (f(x) + g(x)) dx$ है,तो $g(x) =$

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