मान लीजिए f: R rightarrow R एक सतत फलन है ताक | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x)+f(x+1)=2$। दोनों पक्षों का $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर,$\int_{0}^{1} f(x) d x + \int_{0}^{1} f(x+1) d x = \int_{0}^{1} 2 d x$।

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$16$

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(B) दिया गया है $f(x)+f(x+1)=2$। दोनों पक्षों का $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर,$\int_{0}^{1} f(x) d x + \int_{0}^{1} f(x+1) d x = \int_{0}^{1} 2 d x$। दूसरे समाकलन में $t=x+1$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,$\int_{0}^{1} f(x) d x + \int_{1}^{2} f(t) d t = 2$,जिसका अर्थ है $\int_{0}^{2} f(x) d x = 2$। चूंकि $f(x)+f(x+1)=2$,इसलिए $f(x+2) = 2-f(x+1) = 2-(2-f(x)) = f(x)$,अतः $f(x)$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T=2$ है। $I_{1} = \int_{0}^{8} f(x) d x = \frac{8}{2} \int_{0}^{2} f(x) d x = 4 	imes 2 = 8$। $I_{2} = \int_{-1}^{3} f(x) d x$। चूंकि $f(x)$ का आवर्तकाल $2$ है,$\int_{a}^{a+T} f(x) d x$ का मान $a$ से स्वतंत्र होता है। अतः,$I_{2} = \int_{0}^{4} f(x) d x = \frac{4}{2} \int_{0}^{2} f(x) d x = 2 	imes 2 = 4$। इसलिए,$I_{1}+2 I_{2} = 8 + 2(4) = 8 + 8 = 16$।

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