sum_{n=1}^{20} left[ sin left( frac{2npi}{21} | vedclass

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Question

(C) हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\sum_{n=1}^{20} \left[ \sin \left( \frac{2n\pi}{21} \right) - i \cos \left( \frac{2n\pi}{21} \right) \right]

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$i$

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(C) हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\sum_{n=1}^{20} \left[ \sin \left( \frac{2n\pi}{21} ight) - i \cos \left( \frac{2n\pi}{21} ight) ight] = -i \sum_{n=1}^{20} \left[ \cos \left( \frac{2n\pi}{21} ight) + i \sin \left( \frac{2n\pi}{21} ight) ight]$.यूलर के सूत्र $e^{i	heta} = \cos 	heta + i \sin 	heta$ का उपयोग करते हुए,व्यंजक $-i \sum_{n=1}^{20} e^{i(2n\pi/21)}$ बन जाता है।मान लीजिए $\omega = e^{i(2\pi/21)}$ है। तो योग $-i \sum_{n=1}^{20} \omega^n$ है।यह $20$ पदों की एक गुणोत्तर श्रेणी है,जहाँ पहला पद $\omega$ है और सार्व अनुपात $\omega$ है।योग $\omega \frac{1-\omega^{20}}{1-\omega}$ है।चूंकि $\omega^{21} = e^{i(2\pi)} = 1$,इसलिए $\omega^{20} = \omega^{-1} = \frac{1}{\omega}$ है।अतः,योग $-i \left( \frac{\omega - \omega^{21}}{1-\omega} ight) = -i \left( \frac{\omega - 1}{1-\omega} ight) = -i (-1) = i$ है।

$\sum_{n=1}^{20} \left[ \sin \left( \frac{2n\pi}{21} \right) - i \cos \left( \frac{2n\pi}{21} \right) \right] = $

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