$(-1+i \sqrt{3})^{60} = ?$

मान लीजिए कि $\omega$ इकाई का एक घनमूल है जो $1$ के बराबर नहीं है। तो,$|a + b\omega + c\omega^2|$ का अधिकतम संभव मान क्या होगा,जहाँ $a, b, c \in \{+1, -1\}$ है?

माना कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2-\sqrt{6}x+3=0$ के मूल हैं,इस प्रकार कि $\operatorname{Im}(\alpha)>\operatorname{Im}(\beta)$ है। माना कि $a, b$ ऐसे पूर्णांक हैं जो $3$ से विभाज्य नहीं हैं और $n$ एक प्राकृतिक संख्या है,इस प्रकार कि $\frac{\alpha^{99}}{\beta}+\alpha^{98}=3^n(a+ib)$,जहाँ $i=\sqrt{-1}$ है। तो $n+a+b$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $\omega=\operatorname{cis}\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)$ और $f(x)=x^7-2 x^4-4 x^3+8$ है। निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही है?

यदि $\omega$ इकाई का घनमूल है लेकिन $1$ के बराबर नहीं है,तो $|a + b\omega + c\omega^2|$ (जहाँ $a, b, c$ पूर्णांक हैं लेकिन सभी समान नहीं हैं) का न्यूनतम मान क्या है?

यदि $Z \neq 0$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $Z^2 + Z|Z| + |Z|^2 = 0$,तो $Z$ किस समुच्चय में है? (यहाँ $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है।)