$\cos 13^{\circ} \sin 17^{\circ} \sin 21^{\circ} \cos 47^{\circ} = $

$\tan 81^{\circ}-\tan 63^{\circ}-\tan 27^{\circ}+\tan 9^{\circ}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\sum_{k=1}^3 \cos^2 \left((2k-1) \frac{\pi}{12}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$S_n: (0, \infty) \rightarrow R$ को $S_n(x) = \sum_{k=1}^n \cot^{-1}\left(\frac{1+k(k+1)x^2}{x}\right)$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जहाँ किसी भी $x \in R$ के लिए,$\cot^{-1} x \in (0, \pi)$ और $\tan^{-1} x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ $S_{10}(x) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}\left(\frac{1+11x^2}{10x}\right)$,सभी $x > 0$ के लिए
$(B)$ $\lim_{n \rightarrow \infty} \cot(S_n(x)) = x$,सभी $x > 0$ के लिए
$(C)$ समीकरण $S_3(x) = \frac{\pi}{4}$ का $(0, \infty)$ में एक मूल है
$(D)$ $\tan(S_n(x)) \leq \frac{1}{2}$,सभी $n \geq 1$ और $x > 0$ के लिए

यदि $\theta = \frac{\pi}{6}$ और $x = \log \left[ \cot \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) \right]$ है,तो $\sinh(x) =$

$\tan ^2 \frac{\pi}{16}+\tan ^2 \frac{2 \pi}{16}+\tan ^2 \frac{3 \pi}{16}+\tan ^2 \frac{4 \pi}{16}+\tan ^2 \frac{5 \pi}{16}+\tan ^2 \frac{6 \pi}{16}+\tan ^2 \frac{7 \pi}{16} = ?$