$^{37}C_4 + \sum_{r=1}^{5} {^{(42-r)}C_r} = $

નીચેના બે વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$I.$ જો $n$ એ વિભાજ્ય સંખ્યા હોય,તો $n$ એ $(n-1)!$ ને ભાગે છે.
$II.$ એવી અનંત પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ છે કે જેના માટે $n^3+2n^2+n$ એ $n!$ ને ભાગે છે.

List-$I$ ની વસ્તુઓને List-$II$ ની વસ્તુઓ સાથે જોડો:

	List-$I$		List-$II$
$(A)$	$n$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી $(n-r)$ વસ્તુઓ પસંદ ન કરવાની રીતોની સંખ્યા	$(I)$	$1+n+{ }^n C_2+\ldots+{ }^n C_r$
$(B)$	$(n-r+1) \cdot{ }^n C_{r-1}$	$(II)$	$(r+1) \cdot{ }^n C_{r+1}$
$(C)$	$n$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી ઓછામાં ઓછી $(n-r)$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા	$(III)$	$r\left({ }^n C_r\right)$
$(D)$	$(n-r)\left({ }^{n-1} C_{r-1}+{ }^{n-1} C_r\right)$	$(IV)$	$2^n-1-n-{ }^n C_2-\ldots-{ }^n C_r$
		$(V)$	${ }^n C_{n-r}$

સાચી જોડ છે:

$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને એવી કેટલી $4$-અંકી સંખ્યાઓ બનાવી શકાય જેમાં અંક $1$ હોય?

ટીમ $A$ માં $7$ છોકરાઓ અને $n$ છોકરીઓ છે અને ટીમ $B$ માં $4$ છોકરાઓ અને $6$ છોકરીઓ છે. જો આ બે ટીમો વચ્ચે કુલ $52$ સિંગલ મેચો ગોઠવી શકાય,જેમાં એક છોકરો બીજા છોકરા સામે અને એક છોકરી બીજી છોકરી સામે રમે,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

$1012$ અને $23421$ ની વચ્ચે આવતી એવી કેટલી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે જે $2, 3, 4, 5, 6$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય (અંકોનું પુનરાવર્તન માન્ય નથી) અને તે $55$ વડે વિભાજ્ય હોય?