lim _{n rightarrow infty}left(frac{1^2}{n^3+1 | vedclass

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Question

(D) माना $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^2}{n^3+r^3}$.हम योग को इस प्रकार लिख सकते हैं:$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{

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$\log \sqrt[3]{2}$

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(D) माना $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^2}{n^3+r^3}$.हम योग को इस प्रकार लिख सकते हैं:$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^2}{n^3(1+(r/n)^3)} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{(r/n)^2}{1+(r/n)^3}$.निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n f(\frac{r}{n}) = \int_0^1 f(x) dx$,हमें प्राप्त होता है:$L = \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^3} dx$.माना $1+x^3 = t$,तो $3x^2 dx = dt$,या $x^2 dx = \frac{dt}{3}$.जब $x=0, t=1$ और जब $x=1, t=2$.$L = \int_1^2 \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} [\log |t|]_1^2 = \frac{1}{3} (\log 2 - \log 1) = \frac{1}{3} \log 2$.$a \log b = \log b^a$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $\frac{1}{3} \log 2 = \log 2^{1/3} = \log \sqrt[3]{2}$.

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^2}{n^3+1^3}+\frac{2^2}{n^3+2^3}+\ldots+\frac{n^2}{n^3+n^3}\right)=$

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$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n^2} \sec ^2 \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2} \sec ^2 \frac{4}{n^2}+\frac{3}{n^2} \sec ^2 \frac{9}{n^2}+\ldots+\frac{n}{n^2} \sec ^2 \frac{n^2}{n^2}\right]=$

योगफल की सीमा के रूप में $\int_2^3 x^2 dx$ का मूल्यांकन कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{\sqrt{n^2-1^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-2^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-3^2}}{n^2}+\ldots+\frac{\sqrt{n^2-n^2}}{n^2}\right]=$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{1}{n} + \frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + \dots + \frac{1}{{2n}}} \right] = $

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{n}{{1 + {n^2}}} + \frac{n}{{4 + {n^2}}} + \frac{n}{{9 + {n^2}}} + .... + \frac{1}{{2n}}} \right]$ का मान क्या है?

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