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Question

(A) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{\sqrt{n^2-r^2}}{n^2}$ है।हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=

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$\frac{\pi}{4}$

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(A) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{\sqrt{n^2-r^2}}{n^2}$ है।हम इसे $S = \lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n \sqrt{1-(r/n)^2}}{n^2} = \lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \sqrt{1-(\frac{r}{n})^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{1} f(x) dx$ होता है।यहाँ,$f(x) = \sqrt{1-x^2}$ है।अतः,$S = \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$ है।मानक समाकल सूत्र $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:$S = [\frac{x}{2} \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1}(x)]_{0}^{1}$ प्राप्त होता है।सीमाओं का मान रखने पर: $S = (0 + \frac{1}{2} \sin^{-1}(1)) - (0 + \frac{1}{2} \sin^{-1}(0)) = \frac{1}{2} 	imes \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$।

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{\sqrt{n^2-1^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-2^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-3^2}}{n^2}+\ldots+\frac{\sqrt{n^2-n^2}}{n^2}\right]=$

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यदि $k \in N$ है,तो $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\ldots+\frac{1}{k n}\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{77}+2^{77}+\ldots+n^{77}}{n^{78}} = $

मान लीजिए $[ \cdot ]$ महत्तम पूर्णांक फलन है और $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n \left[ \frac{k^2}{3^x} \right]$. तो $12 \sum_{j=1}^{\infty} f(j)$ का मान ........... है।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{2n} k e^{k/n} = $

$\lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{\sqrt{1} + 2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3} + \ldots + n \sqrt{n}}{n^{5/2}} \right) = $

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