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Question

(B) दी गई सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{(k-1)n} \frac{1}{n+r}$ है।इसे $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{(k-1)n} \frac

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$\log k$

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(B) दी गई सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{(k-1)n} \frac{1}{n+r}$ है।इसे $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{(k-1)n} \frac{1}{n(1 + \frac{r}{n})}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{m n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{m} f(x) dx$ होता है।यहाँ,$m = k-1$ और $f(x) = \frac{1}{1+x}$ है।अतः,$L = \int_{0}^{k-1} \frac{1}{1+x} dx$।समाकल का मूल्यांकन करने पर,हमें $L = [\log(1+x)]_{0}^{k-1}$ प्राप्त होता है।सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर,$L = \log(1 + k - 1) - \log(1 + 0) = \log(k) - \log(1) = \log(k)$।इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

यदि $k \in N$ है,तो $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\ldots+\frac{1}{k n}\right]=$

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यदि $U_{n}=\left(1+\frac{1^{2}}{n^{2}}\right)^{1}\left(1+\frac{2^{2}}{n^{2}}\right)^{2} \ldots\left(1+\frac{n^{2}}{n^{2}}\right)^{n}$ है,तो $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(U_{n}\right)^{\frac{-4}{n^{2}}}$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{n^2}}}\left[ {1\cos \frac{1}{{{n^2}}} + 2\cos \frac{4}{{{n^2}}} + 3\cos \frac{9}{{{n^2}}} + .... + 2n\cos 4} \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलन की परिभाषा द्वारा, $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{\sqrt{1} + 2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3} + \ldots + n \sqrt{n}}{n^{5/2}} \right) = $

सीमा का मान ज्ञात कीजिए: $\mathop {\lim}\limits_{n \to \infty } \frac{\pi }{2n} \left( 1 + \cos \frac{\pi }{2n} + \cos \frac{2\pi }{2n} + \dots + \cos \frac{(n - 1)\pi }{2n} \right)$

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