सीमा का मान ज्ञात कीजिए: mathop {lim}limits_{ | vedclass

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Question

(A) दी गई सीमा $\mathop {\lim}\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum\limits_{r=0}^{n-1} f\left(\frac{r}{n}ight) = \int\limits_0^1 f(x) \, dx$ के र

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(A) दी गई सीमा $\mathop {\lim}\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum\limits_{r=0}^{n-1} f\left(\frac{r}{n}ight) = \int\limits_0^1 f(x) \, dx$ के रूप में है। यहाँ,व्यंजक को $\frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{n} \sum\limits_{r=0}^{n-1} \cos\left(\frac{\pi}{2} \cdot \frac{r}{n}ight)$ के रूप में लिखा जा सकता है। निश्चित समाकलन की परिभाषा से तुलना करने पर,हमें $f(x) = \cos\left(\frac{\pi x}{2}ight)$ प्राप्त होता है। अतः,सीमा का मान $\frac{\pi}{2} \int\limits_0^1 \cos\left(\frac{\pi x}{2}ight) \, dx$ होगा। समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $\frac{\pi}{2} \left[ \frac{\sin(\frac{\pi x}{2})}{\frac{\pi}{2}} ight]_0^1 = \left[ \sin\left(\frac{\pi x}{2}ight) ight]_0^1 = \sin\left(\frac{\pi}{2}ight) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.

सीमा का मान ज्ञात कीजिए: $\mathop {\lim}\limits_{n \to \infty } \frac{\pi }{2n} \left( 1 + \cos \frac{\pi }{2n} + \cos \frac{2\pi }{2n} + \dots + \cos \frac{(n - 1)\pi }{2n} \right)$

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