lim _{n rightarrow infty} frac{1}{n^2} sum_{k | vedclass

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Question

(B) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{2n} k e^{k/n}$ है।इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \

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$e^2+1$

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(B) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{2n} k e^{k/n}$ है।इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} \left(\frac{k}{n}\right) e^{k/n}$ के रूप में लिखा जा सकता है।माना $x = \frac{k}{n}$, तब $dx = \frac{1}{n}$। जब $k=1, x \rightarrow 0$ और जब $k=2n, x \rightarrow 2$।यह योग एक निश्चित समाकल में बदल जाता है: $S = \int_{0}^{2} x e^x dx$।खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए, $\int u dv = uv - \int v du$, जहाँ $u=x$ और $dv=e^x dx$:$S = [x e^x]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} e^x dx$।$S = (2 e^2 - 0) - [e^x]_{0}^{2}$।$S = 2 e^2 - (e^2 - e^0) = 2 e^2 - e^2 + 1 = e^2 + 1$।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{2n} k e^{k/n} = $

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यदि $a = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2n}{n^2+k^2}$ और $f(x) = \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}$,$x \in (0, 1)$,तो:

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\ldots+\frac{n}{n^2+n^2}\right]=$

योगफल की सीमा के रूप में निम्नलिखित निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
$\int_{2}^{3} x^{2} d x$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{r=1}^n\left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)^{\frac{2 r}{n^2}}$ का मान किसके बराबर है?

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{1^p} + {2^p} + {3^p} + ..... + {n^p}}}{{{n^{p + 1}}}} = $

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