lim _{n rightarrow infty} prod_{r=1}^nleft(1+ | vedclass

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Question

(D) माना $y = \lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{r=1}^n \left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)^{\frac{2 r}{n^2}}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\

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$\frac{4}{e}$

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(D) माना $y = \lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{r=1}^n \left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)^{\frac{2 r}{n^2}}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\ln y = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{2 r}{n^2} \ln \left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)$.यह एक रीमान योग है, जिसे निश्चित समाकलन के रूप में लिखा जा सकता है:$\ln y = \int_0^1 2x \ln(1+x^2) dx$.माना $t = 1+x^2$, तब $dt = 2x dx$. जब $x=0, t=1$ और जब $x=1, t=2$.$\ln y = \int_1^2 \ln(t) dt$.समाकलन सूत्र $\int \ln(t) dt = t \ln(t) - t$ का उपयोग करने पर:$\ln y = [t \ln(t) - t]_1^2 = (2 \ln 2 - 2) - (1 \ln 1 - 1) = 2 \ln 2 - 2 + 1 = \ln(4) - 1 = \ln(4) - \ln(e) = \ln \left(\frac{4}{e}\right)$.अतः, $y = \frac{4}{e}$.

$\lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{r=1}^n\left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)^{\frac{2 r}{n^2}}$ का मान किसके बराबर है?

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{4n^2-1}} + \frac{1}{\sqrt{4n^2-4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{4n^2-n^2}} \right)$ का मान है

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[ \frac{1}{n} \sin ^{-1} \frac{1}{n} + \frac{2}{n} \sin ^{-1} \frac{2}{n} + \dots + \frac{n}{n} \sin ^{-1} \frac{n}{n} \right] =$

यदि $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\le x$ को दर्शाता है,तो $\mathop {\text{Limit}}\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n^4} \left( [1^3 x] + [2^3 x] + \dots + [n^3 x] \right)$ का मान क्या होगा?

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[\sin \frac{\pi}{4}+\sin \frac{\pi}{12}\left(3+\frac{1}{n}\right)+\sin \frac{\pi}{12}\left(3+\frac{2}{n}\right)+\ldots+\sin \frac{\pi}{3}\right]=$

$\int_0^3 (2+x^2) dx = $

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