lim _{n} {rightarrow infty} frac{1}{n} left[ | vedclass

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Question

(C) दिया गया व्यंजक $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{r}{n} \sin ^{-1} \left( \frac{r}{n} \right)$ है।यह एक रीमान योग है,जि

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$\frac{\pi}{8}$

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(C) दिया गया व्यंजक $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{r}{n} \sin ^{-1} \left( \frac{r}{n} \right)$ है।यह एक रीमान योग है,जिसे निश्चित समाकलन $\int_0^1 x \sin ^{-1} x \, dx$ के रूप में लिखा जा सकता है।खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \sin ^{-1} x$ और $dv = x \, dx$ लेने पर,$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ और $v = \frac{x^2}{2}$ प्राप्त होता है।$\int_0^1 x \sin ^{-1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \sin ^{-1} x \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{2 \sqrt{1-x^2}} \, dx$.प्रथम पद का मान: $\left[ \frac{1^2}{2} \sin ^{-1}(1) - 0 \right] = \frac{\pi}{4}$.दूसरे पद के लिए: $-\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = -\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{x^2 - 1 + 1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx - \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$.मानक समाकलन का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{2} \left[ \frac{x}{2} \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin ^{-1} x \right]_0^1 - \frac{1}{2} \left[ \sin ^{-1} x \right]_0^1 = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{8}$.कुल योग: $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{8}$.

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[ \frac{1}{n} \sin ^{-1} \frac{1}{n} + \frac{2}{n} \sin ^{-1} \frac{2}{n} + \dots + \frac{n}{n} \sin ^{-1} \frac{n}{n} \right] =$

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$\mathop {\text{Lim}}\limits_{n \to \infty } \,\,\sum\limits_{r = 1}^{4n} {\frac{{\sqrt n }}{{\sqrt r {{\left( {\,3\sqrt r + 4\sqrt n \,} \right)}^2}}}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^3 (2+x^2) dx = $

$\lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{r=1}^n\left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)^{\frac{2 r}{n^2}}$ का मान किसके बराबर है?

मान लीजिए $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ और $T_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ जहाँ $n=1, 2, 3, \ldots$ है। तो,

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