$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} [(n+1)(n+2) \cdots (2n)]^{\frac{1}{n}} = $

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{2n} k e^{k/n} = $

દરેક ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,ધારો કે $y_n = \frac{1}{n} ((n+1)(n+2) \dots (n+n))^{\frac{1}{n}}$. $x \in \mathbb{R}$ માટે,ધારો કે $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો સૌથી મોટો પૂર્ણાંક છે. જો $\lim_{n \rightarrow \infty} y_n = L$ હોય,તો $[L]$ ની કિંમત શોધો.

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)=$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\left( {\frac{n}{{{n^2} + {1^2}}} + \frac{n}{{{n^2} + {2^2}}} + \frac{n}{{{n^2} + {3^2}}} + ... + \frac{n}{{{n^2} + {{(2n)}^2}}}} \right)$ ની કિંમત શોધો.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{k}{{{n^2} + {k^2}}}} $ ની કિંમત શોધો.