int (log_{e} 2x)^3 dx = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int (\log_{e} 2x)^3 dx$ है। $t = \log_{e} 2x$ प्रतिस्थापित करने पर,$2x = e^t$,अतः $x = \frac{1}{2} e^t$ और $dx = \frac{1}{2} e^t dt$ हो

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$x[(\log_{e} 2x)^3 - 3(\log_{e} 2x)^2 + 6(\log_{e} 2x) - 6] + c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int (\log_{e} 2x)^3 dx$ है। $t = \log_{e} 2x$ प्रतिस्थापित करने पर,$2x = e^t$,अतः $x = \frac{1}{2} e^t$ और $dx = \frac{1}{2} e^t dt$ होगा। $I = \int t^3 \cdot \frac{1}{2} e^t dt = \frac{1}{2} \int t^3 e^t dt$। खंडशः समाकलन $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = t^3$ और $dv = e^t dt$ है: $I = \frac{1}{2} [t^3 e^t - \int 3t^2 e^t dt] = \frac{1}{2} t^3 e^t - \frac{3}{2} \int t^2 e^t dt$। पुनः खंडशः समाकलन करने पर: $\int t^2 e^t dt = t^2 e^t - 2 \int t e^t dt = t^2 e^t - 2(t e^t - e^t) = t^2 e^t - 2t e^t + 2e^t$। मान वापस रखने पर: $I = \frac{1}{2} t^3 e^t - \frac{3}{2} [t^2 e^t - 2t e^t + 2e^t] + c = \frac{1}{2} e^t [t^3 - 3t^2 + 6t - 6] + c$। चूँकि $e^t = 2x$ और $t = \log_{e} 2x$ है: $I = \frac{1}{2} (2x) [(\log_{e} 2x)^3 - 3(\log_{e} 2x)^2 + 6(\log_{e} 2x) - 6] + c = x[(\log_{e} 2x)^3 - 3(\log_{e} 2x)^2 + 6(\log_{e} 2x) - 6] + c$।

$\int (\log_{e} 2x)^3 dx =$

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