int frac{x tan^{-1} x}{(1 + x^2)^{3/2}} , dx | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{x 	an^{-1} x}{(1 + x^2)^{3/2}} \, dx$. $x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता ह

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{x - 	an^{-1} x}{\sqrt{1 + x^2}} + c$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int \frac{x 	an^{-1} x}{(1 + x^2)^{3/2}} \, dx$. $x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है। साथ ही,$1 + x^2 = 1 + 	an^2 	heta = \sec^2 	heta$। इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{	an 	heta \cdot 	heta \cdot \sec^2 	heta}{(\sec^2 	heta)^{3/2}} \, d	heta = \int \frac{	heta 	an 	heta \sec^2 	heta}{\sec^3 	heta} \, d	heta = \int 	heta \frac{	an 	heta}{\sec 	heta} \, d	heta = \int 	heta \sin 	heta \, d	heta$। खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर: $I = 	heta(-\cos 	heta) - \int 1 \cdot (-\cos 	heta) \, d	heta = -	heta \cos 	heta + \sin 	heta + c$। चूँकि $x = 	an 	heta$,इसलिए $\cos 	heta = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$ और $\sin 	heta = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$। मान वापस रखने पर: $I = -(	an^{-1} x) \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} + c = \frac{x - 	an^{-1} x}{\sqrt{1 + x^2}} + c$।

$\int \frac{x \tan^{-1} x}{(1 + x^2)^{3/2}} \, dx = $

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