int cos sqrt{x} , dx का मान ज्ञात कीजिए। | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \cos \sqrt{x} \, dx$ है। $\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = t^2$ प्राप्त होता है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dx = 2t \, dt

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$2 \sqrt{x} \sin \sqrt{x} + 2 \cos \sqrt{x} + c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \cos \sqrt{x} \, dx$ है। $\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = t^2$ प्राप्त होता है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dx = 2t \, dt$ मिलता है। इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int \cos(t) \cdot 2t \, dt = 2 \int t \cos(t) \, dt$। खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर,जहाँ $u = t$ और $dv = \cos(t) \, dt$ है: $I = 2 \left[ t \sin(t) - \int \sin(t) \, dt \right] = 2 [t \sin(t) + \cos(t)] + c$। $t$ का मान $\sqrt{x}$ वापस रखने पर: $I = 2 \sqrt{x} \sin \sqrt{x} + 2 \cos \sqrt{x} + c$।

$\int \cos \sqrt{x} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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