int_{-pi}^pi frac{cos ^{2022} x}{1+(2022)^x} | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x}{1+(2022)^x} d x$  ...$(i)$गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमे

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2022 !}{2^{2022}((1011) !)^2} \pi$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x}{1+(2022)^x} d x$  ...$(i)$गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$I = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022}(-x)}{1+(2022)^{-x}} d x = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x}{1+\frac{1}{(2022)^x}} d x = \int_{-\pi}^\pi \frac{(2022)^x \cos ^{2022} x}{(2022)^x+1} d x$  ...(ii)$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:$2I = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x (1+(2022)^x)}{1+(2022)^x} d x = \int_{-\pi}^\pi \cos ^{2022} x d x$चूंकि $\cos ^{2022} x$ एक सम फलन है,$2I = 2 \int_0^\pi \cos ^{2022} x d x$,अतः $I = \int_0^\pi \cos ^{2022} x d x = 2 \int_0^{\pi/2} \cos ^{2022} x d x$.वालिस के सूत्र $\int_0^{\pi/2} \cos^n x d x = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}$ (जहाँ $n$ सम है) का उपयोग करने पर:$I = 2 \cdot \frac{2021!!}{2022!!} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{2021!!}{2022!!} \pi = \frac{2021!! \cdot 2022!!}{(2022!!)^2} \pi = \frac{2022!}{(2^{1011} \cdot 1011!)^2} \pi = \frac{2022!}{2^{2022} (1011!)^2} \pi$.

$\int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x}{1+(2022)^x} d x=$

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मान लीजिए $f(x) = \int\limits_0^{x^2} {(t - 1)(t - 4)(t - 9)} dt$,तो:

यदि $\int_{\pi /2}^x \sqrt{3 - 2\sin^2 u} \,du + \int_0^y \cos t \,dt = 0$ है,तो $\frac{dy}{dx} = $

$\mathop {Limit}\limits_{x \to {x_1}} \,\,\frac{x}{{x - {x_1}}}\,\,\int\limits_{{x_1}}^x {f(t)} \, dt$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $f(x) = \int_{0}^{x} t \sin t \,dt$ है,तो $f^{\prime}(x)$ है

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