int_0^{frac{pi}{2}} frac{cos x , dx}{sqrt{1+c | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x \, dx}{\sqrt{1+\cos x \sin x}} \quad \dots (i)$ गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx

Vedclass · Accepted Answer

$\sqrt{2} \sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x \, dx}{\sqrt{1+\cos x \sin x}} \quad \dots (i)$ गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(\frac{\pi}{2}-x) \, dx}{\sqrt{1+\cos(\frac{\pi}{2}-x) \sin(\frac{\pi}{2}-x)}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \, dx}{\sqrt{1+\sin x \cos x}} \quad \dots (ii)$ $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x + \sin x}{\sqrt{1+\cos x \sin x}} \, dx$ अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर: $2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{2}(\cos x + \sin x)}{\sqrt{2+2\sin x \cos x}} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{2}(\cos x + \sin x)}{\sqrt{3 - (1 - 2\sin x \cos x)}} \, dx$ चूंकि $1 - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2$ है: $2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{2}(\cos x + \sin x)}{\sqrt{3 - (\sin x - \cos x)^2}} \, dx$ माना $t = \sin x - \cos x$,तब $dt = (\cos x + \sin x) \, dx$। सीमाएँ: जब $x=0, t=-1$; जब $x=\frac{\pi}{2}, t=1$। $2I = \int_{-1}^1 \frac{\sqrt{2} \, dt}{\sqrt{3-t^2}} = 2 \int_0^1 \frac{\sqrt{2} \, dt}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 - t^2}}$ $I = \sqrt{2} \left[ \sin^{-1} \left( \frac{t}{\sqrt{3}} \right) \right]_0^1 = \sqrt{2} \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x \, dx}{\sqrt{1+\cos x \sin x}} = $

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$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{e^{\sin x}+1} $ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ और $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ सतत फलन हैं। तो समाकलन $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [f(x)+f(-x)][g(x)-g(-x)] \, dx$ का मान है

समाकल $\int_{-1 / 2}^{1 / 2}\left\{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2}+\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2}-2\right\}^{1 / 2} d x$ का मान किसके बराबर है?

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