मान लीजिए कि फलन F को F(x) = int_{1}^{x} frac | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $F(x) = \int_{1}^{x} \frac{e^{t}}{t} dt, x > 0$ के लिए।मान लीजिए $I = \int_{1}^{x} \frac{e^{t}}{t+a} dt$ है।$t+a = z$ प्रतिस्थापित करन

Vedclass · Accepted Answer

$e^{-a} [F(x+a) - F(1+a)]$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $F(x) = \int_{1}^{x} \frac{e^{t}}{t} dt, x > 0$ के लिए।मान लीजिए $I = \int_{1}^{x} \frac{e^{t}}{t+a} dt$ है।$t+a = z$ प्रतिस्थापित करने पर,$t = z-a$ और $dt = dz$ प्राप्त होता है।जब $t = 1$,तो $z = 1+a$। जब $t = x$,तो $z = x+a$।इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int_{1+a}^{x+a} \frac{e^{z-a}}{z} dz = e^{-a} \int_{1+a}^{x+a} \frac{e^{z}}{z} dz$।निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_{b}^{c} f(z) dz = \int_{1}^{c} f(z) dz - \int_{1}^{b} f(z) dz$ का उपयोग करने पर:$I = e^{-a} \left[ \int_{1}^{x+a} \frac{e^{z}}{z} dz - \int_{1}^{1+a} \frac{e^{z}}{z} dz \right]$।$F(x)$ की परिभाषा के अनुसार,यह हो जाता है:$I = e^{-a} [F(x+a) - F(1+a)]$।अतः,सही विकल्प $D$ है।

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