int_{0}^{pi} frac{x tan x}{sec x + tan x} dx | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{0}^{\pi} \frac{x 	an x}{\sec x + 	an x} dx$. गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int

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$\frac{\pi (\pi - 2)}{2}$

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(D) माना $I = \int_{0}^{\pi} \frac{x 	an x}{\sec x + 	an x} dx$. गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) 	an(\pi - x)}{\sec(\pi - x) + 	an(\pi - x)} dx$. चूंकि $	an(\pi - x) = -	an x$ और $\sec(\pi - x) = -\sec x$,इसलिए: $I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x)(-	an x)}{-\sec x - 	an x} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) 	an x}{\sec x + 	an x} dx$. $I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{	an x}{\sec x + 	an x} dx - I$. $2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \sin x} dx$. $2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x(1 - \sin x)}{\cos^2 x} dx = \pi \int_{0}^{\pi} (\sec x 	an x - 	an^2 x) dx$. $2I = \pi \int_{0}^{\pi} (\sec x 	an x - (\sec^2 x - 1)) dx$. $2I = \pi [\sec x - 	an x + x]_{0}^{\pi}$. $2I = \pi [(\sec \pi - 	an \pi + \pi) - (\sec 0 - 	an 0 + 0)]$. $2I = \pi [(-1 - 0 + \pi) - (1 - 0 + 0)] = \pi (\pi - 2)$. $I = \frac{\pi (\pi - 2)}{2}$.

$\int_{0}^{\pi} \frac{x \tan x}{\sec x + \tan x} dx =$

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यदि $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{96 x^2 \cos^2 x}{1+e^x} dx = \pi(\alpha \pi^2 + \beta)$,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$,तो $(\alpha + \beta)^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int_{-1}^{1} \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \, dx = $

$\int_{-1}^{3} \left( \tan^{-1} \left( \frac{x}{x^2+1} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{x^2+1}{x} \right) \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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