int_0^{pi / 4} frac{d x}{cos ^3(x) cdot sqrt{ | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{d x}{\cos ^3 x \sqrt{2 \sin 2 x}}$.सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$I

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$\frac{6}{5}$

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(A) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{d x}{\cos ^3 x \sqrt{2 \sin 2 x}}$.सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{d x}{\cos ^3 x \sqrt{4 \sin x \cos x}} = \int_0^{\pi / 4} \frac{d x}{2 \cos ^4 x \sqrt{	an x}}$.$I = \frac{1}{2} \int_0^{\pi / 4} \frac{\sec^2 x (1 + 	an^2 x)}{\sqrt{	an x}} d x$.माना $	an x = t^2$,तब $\sec^2 x d x = 2t dt$.जब $x = 0, t = 0$ और जब $x = \frac{\pi}{4}, t = 1$.इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{(1 + t^4) \cdot 2t dt}{t} = \int_0^1 (1 + t^4) dt$.$I = [t + \frac{t^5}{5}]_0^1 = 1 + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$.

$\int_0^{\pi / 4} \frac{d x}{\cos ^3(x) \cdot \sqrt{2 \sin (2 x)}}=$

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$\int_0^\pi \frac{1}{1+\sin x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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