lim _{n rightarrow infty} frac{1}{n}left{sin | vedclass

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Question

(D) दिया गया व्यंजक $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{3n} \sin ^5\left(\frac{r \pi}{6 n}\right)$ है।निश्चित समाकलन की परिभाषा के अ

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$\frac{16}{5 \pi}$

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(D) दिया गया व्यंजक $\lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{3n} \sin ^5\left(\frac{r \pi}{6 n}ight)$ है।निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{kn} f\left(\frac{r}{n}ight) = \int_0^k f(x) dx$ होता है।यहाँ,$f(x) = \sin^5\left(\frac{\pi}{6} xight)$ और $k=3$ है।अतः,समाकलन $\int_0^3 \sin ^5\left(\frac{\pi}{6} xight) dx$ होगा।मान लीजिए $t = \frac{\pi}{6} x$,तो $dt = \frac{\pi}{6} dx$,जिसका अर्थ है $dx = \frac{6}{\pi} dt$।जब $x=0, t=0$ और जब $x=3, t=\frac{\pi}{2}$ होता है।समाकलन $\frac{6}{\pi} \int_0^{\pi/2} \sin^5(t) dt$ बन जाता है।वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\int_0^{\pi/2} \sin^5(t) dt = \frac{4 	imes 2}{5 	imes 3 	imes 1} = \frac{8}{15}$ प्राप्त होता है।इसलिए,मान $\frac{6}{\pi} 	imes \frac{8}{15} = \frac{2 	imes 8}{5 \pi} = \frac{16}{5 \pi}$ है।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left\{\sin ^5\left(\frac{\pi}{6 n}\right)+\sin ^5\left(\frac{2 \pi}{6 n}\right)+\sin ^5\left(\frac{3 \pi}{6 n}\right)+\ldots+\sin ^5\left(\frac{\pi}{2}\right)\right\} = $

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