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Question

(B) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{2n} \frac{1}{n+r}$ है।हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{2n} \fra

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$\log 3$

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(B) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{2n} \frac{1}{n+r}$ है।हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{2n} \frac{1}{n(1 + \frac{r}{n})}$ के रूप में लिख सकते हैं।यह $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{2n} f(\frac{r}{n})$ के रूप का रीमान योग है,जो $\int_{0}^{2} f(x) dx$ के बराबर होता है।यहाँ,$f(x) = \frac{1}{1+x}$ है।अतः,$S = \int_{0}^{2} \frac{1}{1+x} dx$ है।समाकलन का मूल्यांकन करने पर,हमें $S = [\ln(1+x)]_{0}^{2}$ प्राप्त होता है।$S = \ln(1+2) - \ln(1+0) = \ln(3) - \ln(1) = \ln(3) - 0 = \ln(3)$।

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{3 n}\right]=$

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$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{e^{1 / n}}+\frac{1}{e^{2 / n}}+\frac{1}{e^{3 / n}}+\ldots+\frac{1}{e^{2n/n}}\right)=$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{n^3}}}\left[ {{1^2}\sin \frac{1}{n} + {2^2}\sin \frac{2}{n} + {3^2}\sin \frac{3}{n} + ....+{n^2}\sin \frac{n}{n}} \right]$ का मान क्या है?

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^3}{r^4+n^4}$ का मान है

$\int_{-1}^{2}(7 x-5) d x$ का मान योगफल की सीमा के रूप में ज्ञात कीजिए।

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