$a \in \mathbb{R}$ (सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) के लिए,$a \neq -1$,यदि $\lim_{n \to \infty} \frac{1^a + 2^a + \dots + n^a}{(n+1)^{a-1}[(na+1) + (na+2) + \dots + (na+n)]} = \frac{1}{60}$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(2n(2n-1) \dots (n+1))^{1/n}}{n} = $

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\frac{1}{\sqrt{4 n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt{4 n^2-2^2}}+\frac{1}{\sqrt{4 n^2-3^2}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{4 n^2-n^2}}\right\}=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} n^4\left[\frac{1}{n^5}+\frac{1}{\left(n^2+1\right)^{\frac{5}{2}}}+\frac{1}{\left(n^2+4\right)^{\frac{5}{2}}}+\frac{1}{\left(n^2+9\right)^{\frac{5}{2}}}+\ldots+\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{n}{n^{2}+1^{2}} + \frac{n}{n^{2}+2^{2}} + \ldots + \frac{n}{n^{2}+n^{2}} \right]$ का मान है

प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,मान लीजिए $y_n = \frac{1}{n} ((n+1)(n+2) \dots (n+n))^{\frac{1}{n}}$ है। $x \in \mathbb{R}$ के लिए,मान लीजिए $[x]$ वह सबसे बड़ा पूर्णांक है जो $x$ से कम या उसके बराबर है। यदि $\lim_{n \rightarrow \infty} y_n = L$ है,तो $[L]$ का मान ज्ञात कीजिए।