प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n के लिए,मान लीजिए | vedclass

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Question

(D) हमारे पास $y_n = \frac{1}{n} \left( \prod_{r=1}^n (n+r) \right)^{\frac{1}{n}} = \left( \prod_{r=1}^n (1 + \frac{r}{n}) \right)^{\frac{1}{n}}$ है।द

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$1$

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(D) हमारे पास $y_n = \frac{1}{n} \left( \prod_{r=1}^n (n+r) \right)^{\frac{1}{n}} = \left( \prod_{r=1}^n (1 + \frac{r}{n}) \right)^{\frac{1}{n}}$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\ln(y_n) = \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \ln(1 + \frac{r}{n})$.जैसे ही $n \rightarrow \infty$,यह एक रीमान योग बन जाता है:$\lim_{n \rightarrow \infty} \ln(y_n) = \int_0^1 \ln(1+x) dx$.खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:$\int_0^1 \ln(1+x) dx = 2 \ln 2 - 1 = \ln(4/e)$.अतः,$\ln(L) = \ln(4/e)$,जिसका अर्थ है $L = 4/e$.चूंकि $e \approx 2.718$,$L = 4/2.718 \approx 1.47$.इसलिए,$[L] = [1.47] = 1$.

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निश्चित समाकलन की परिभाषा द्वारा, $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{n}{n^{2}+1^{2}} + \frac{n}{n^{2}+2^{2}} + \ldots + \frac{n}{n^{2}+n^{2}} \right]$ का मान है

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$\int_{0}^{4} (x + e^{2x}) \, dx$

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