यदि lim _{n rightarrow infty} frac{1}{n} log | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) माना $l = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \log \left(\frac{(2 n)!}{n^n n!}\right)$ है।हम जानते हैं कि $\frac{(2n)!}{n! n^n} = \frac{(n+1)

Vedclass · Accepted Answer

$\log x$

Vedclass · Answer

(C) माना $l = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \log \left(\frac{(2 n)!}{n^n n!}\right)$ है।हम जानते हैं कि $\frac{(2n)!}{n! n^n} = \frac{(n+1)(n+2)\dots(n+n)}{n^n} = \prod_{r=1}^n \left(\frac{n+r}{n}\right) = \prod_{r=1}^n \left(1 + \frac{r}{n}\right)$ है।लघुगणक लेने पर, $\log \left(\prod_{r=1}^n \left(1 + \frac{r}{n}\right)\right) = \sum_{r=1}^n \log \left(1 + \frac{r}{n}\right)$ प्राप्त होता है।अतः, $l = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \log \left(1 + \frac{r}{n}\right)$ है।निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार, $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n g\left(\frac{r}{n}\right) = \int_0^1 g(x) dx$ होता है।यहाँ, $g(x) = \log(1+x)$, इसलिए $l = \int_0^1 \log(1+x) dx$ है।माना $1+x = t$, तो $dx = dt$ होगा। जब $x=0, t=1$ और जब $x=1, t=2$ होगा।अतः, $l = \int_1^2 \log t dt = \int_1^2 \log x dx$ है।इसकी तुलना $\int_1^2 f(x) dx$ से करने पर, हमें $f(x) = \log x$ प्राप्त होता है।

यदि $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \log \left(\frac{(2 n)!}{n^n \cdot n!}\right)=\int_1^2 f(x) d x$ है, तो $f(x)=$

Similar Questions

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{\sqrt{n^2-1^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-2^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-3^2}}{n^2}+\ldots+\frac{\sqrt{n^2-n^2}}{n^2}\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2} = $

मान लीजिए $[ \cdot ]$ महत्तम पूर्णांक फलन है और $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n \left[ \frac{k^2}{3^x} \right]$. तो $12 \sum_{j=1}^{\infty} f(j)$ का मान ........... है।

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \left( \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+4)^{3}}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+8)^{3}}}+\cdots +\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{[n+4(n-1)]^{3}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module