જો lim _{n rightarrow infty} frac{1}{n} log l | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $l = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \log \left(\frac{(2 n)!}{n^n n!}\right)$.આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{(2n)!}{n! n^n} = \frac{(n+

Vedclass · Accepted Answer

$\log x$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $l = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \log \left(\frac{(2 n)!}{n^n n!}\right)$.આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{(2n)!}{n! n^n} = \frac{(n+1)(n+2)\dots(n+n)}{n^n} = \prod_{r=1}^n \left(\frac{n+r}{n}\right) = \prod_{r=1}^n \left(1 + \frac{r}{n}\right)$.બંને બાજુ લઘુગણક લેતા, $\log \left(\prod_{r=1}^n \left(1 + \frac{r}{n}\right)\right) = \sum_{r=1}^n \log \left(1 + \frac{r}{n}\right)$.તેથી, $l = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \log \left(1 + \frac{r}{n}\right)$.નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ, $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n g\left(\frac{r}{n}\right) = \int_0^1 g(x) dx$.અહીં, $g(x) = \log(1+x)$, તેથી $l = \int_0^1 \log(1+x) dx$.ધારો કે $1+x = t$, તો $dx = dt$. જ્યારે $x=0, t=1$ અને જ્યારે $x=1, t=2$.તેથી, $l = \int_1^2 \log t dt = \int_1^2 \log x dx$.આને $\int_1^2 f(x) dx$ સાથે સરખાવતા, આપણને $f(x) = \log x$ મળે છે.

જો $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \log \left(\frac{(2 n)!}{n^n \cdot n!}\right)=\int_1^2 f(x) d x$ હોય, તો $f(x)=$

Similar Questions

જો $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 r^3}{r^4+n^4}=p$ હોય, તો $e^p=$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{n + 1}}{{{n^2} + {1^2}}} + \frac{{n + 2}}{{{n^2} + {2^2}}} + \frac{{n + 3}}{{{n^2} + {3^2}}} + \dots + \frac{1}{n}} \right) = $

નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા દ્વારા, $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left\{ \sec ^{2} \frac{\pi}{4 n} + \sec ^{2} \frac{2 \pi}{4 n} + \ldots + \sec ^{2} \frac{n \pi}{4 n} \right\}$ ની કિંમત શોધો.

લક્ષની કિંમત શોધો: $\mathop {\lim}\limits_{n \to \infty } \frac{\pi }{2n} \left( 1 + \cos \frac{\pi }{2n} + \cos \frac{2\pi }{2n} + \dots + \cos \frac{(n - 1)\pi }{2n} \right)$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module