a in R, |a| 1 के लिए,मान लीजिए lim _{n righ | vedclass

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Question

(A) हमें सीमा दी गई है: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{r=1}^n r^{1/3}}{n^{7/3} \sum_{r=1}^n \frac{1}{(an+r)^2}} = 54$. अंश और हर को $n^{4/3

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$1, 2$

Vedclass · Answer

(A) हमें सीमा दी गई है: $\lim _{n ightarrow \infty} \frac{\sum_{r=1}^n r^{1/3}}{n^{7/3} \sum_{r=1}^n \frac{1}{(an+r)^2}} = 54$. अंश और हर को $n^{4/3}$ से विभाजित करने पर,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: $\lim _{n ightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n} \sum_{r=1}^n (r/n)^{1/3}}{\frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{1}{(a+r/n)^2}} = 54$. निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim_{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n f(r/n) = \int_0^1 f(x) dx$. अंश $\int_0^1 x^{1/3} dx = [\frac{3}{4} x^{4/3}]_0^1 = \frac{3}{4}$ हो जाता है। हर $\int_0^1 \frac{1}{(a+x)^2} dx = [-\frac{1}{a+x}]_0^1 = -(\frac{1}{a+1} - \frac{1}{a}) = \frac{1}{a(a+1)}$ हो जाता है। अतः,समीकरण $\frac{3/4}{1/(a(a+1))} = 54$ है,जो $\frac{3}{4} a(a+1) = 54$ में सरल हो जाता है। $a(a+1) = 54 	imes \frac{4}{3} = 72$. $a^2 + a - 72 = 0 \Rightarrow (a+9)(a-8) = 0$. अतः,$a = -9$ या $a = 8$। दोनों $|a| > 1$ की शर्त को संतुष्ट करते हैं।

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