योगफल की सीमा के रूप में $\int_{0}^{2} e^{x} d x$ का मूल्यांकन कीजिए।

(N/A) माना $I = \int_{0}^{2} e^{x} d x$.
यहाँ,$a = 0$ और $b = 2$.
हम जानते हैं कि $h = \frac{b-a}{n}$,इसलिए $nh = 2 - 0 = 2$.
निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\int_{a}^{b} f(x) d x = \lim_{n \to \infty} h \sum_{r=0}^{n-1} f(a + rh)$.
यहाँ,$f(x) = e^{x}$,इसलिए $f(0 + rh) = e^{rh}$.
अतः,$I = \lim_{n \to \infty} h \sum_{r=0}^{n-1} e^{rh} = \lim_{n \to \infty} h [1 + e^{h} + e^{2h} + \dots + e^{(n-1)h}]$.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $n$ पद हैं,प्रथम पद $1$ है और सार्व अनुपात $e^{h}$ है।
$I = \lim_{n \to \infty} h \left[ \frac{1(e^{nh} - 1)}{e^{h} - 1} \right] = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{e^{nh} - 1}{\frac{e^{h} - 1}{h}} \right)$.
चूँकि $nh = 2$,जैसे-जैसे $n \to \infty$,$h \to 0$.
$I = \frac{e^{2} - 1}{\lim_{h \to 0} \frac{e^{h} - 1}{h}} = \frac{e^{2} - 1}{1} = e^{2} - 1$.