निम्नलिखित कथनों में से:(S1): lim _{n rightar | vedclass

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Question

(A) $(S1)$ के लिए: प्रथम $n$ सम संख्याओं का योग $2(1+2+3+\ldots+n) = 2 	imes \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$ है।अतः,$\lim _{n ightarrow \infty} \frac{n(

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$(S1)$ और $(S2)$ दोनों सत्य हैं

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(A) $(S1)$ के लिए: प्रथम $n$ सम संख्याओं का योग $2(1+2+3+\ldots+n) = 2 	imes \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$ है।अतः,$\lim _{n ightarrow \infty} \frac{n(n+1)}{n^2} = \lim _{n ightarrow \infty} \frac{n^2+n}{n^2} = \lim _{n ightarrow \infty} (1 + \frac{1}{n}) = 1$. इसलिए,$(S1)$ सत्य है।$(S2)$ के लिए: हम योग की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हैं: $\lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{1} f(x) dx$.यहाँ,$\lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n^{16}} \sum_{r=1}^{n} r^{15} = \lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} (\frac{r}{n})^{15} = \int_{0}^{1} x^{15} dx$.समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $\int_{0}^{1} x^{15} dx = [\frac{x^{16}}{16}]_{0}^{1} = \frac{1}{16}$. इसलिए,$(S2)$ सत्य है।

निम्नलिखित कथनों में से:
$(S1): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}(2+4+6+\ldots+2n)=1$
$(S2): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{16}}(1^{15}+2^{15}+3^{15}+\ldots+n^{15})=\frac{1}{16}$

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$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1^2}{n^2}\right)\left(1+\frac{2^2}{n^2}\right) \ldots \left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{\frac{1}{n}}=$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^k+2^k+3^k+\ldots+n^k}{n^{k+1}}\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\frac{1}{\sqrt{4 n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt{4 n^2-2^2}}+\frac{1}{\sqrt{4 n^2-3^2}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{4 n^2-n^2}}\right\}=$

निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2-2^2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2-(n-1)^2}}\right)$ का मान किसके बराबर है?

$\mathop {Lim}\limits_{n \to \infty } \,\,\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{n}{{{n^2} + {k^2}{x^2}}}} $,$x > 0$ का मान ज्ञात कीजिए।

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निम्नलिखित कथनों में से:$(S1): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}(2+4+6+\ldots+2n)=1$$(S2): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{16}}(1^{15}+2^{15}+3^{15}+\ldots+n^{15})=\frac{1}{16}$