lim _{n rightarrow infty}left(frac{1}{1+n}+fr | vedclass

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Question

(B) दिया गया सीमा $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{n+r}$ है।हम इसे $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{n(1+\fra

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$\log _{e} 2$

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(B) दिया गया सीमा $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{n+r}$ है।हम इसे $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{n(1+\frac{r}{n})}$ के रूप में लिख सकते हैं।निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{1} f(x) dx$,जहाँ $f(x) = \frac{1}{1+x}$ है।अतः,व्यंजक $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx$ बन जाता है।समाकल का मान ज्ञात करने पर: $[\ln(1+x)]_{0}^{1} = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2) - 0 = \ln(2)$.

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1+n}+\frac{1}{2+n}+\frac{1}{3+n}+\ldots+\frac{1}{2 n}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए :-

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मान लीजिए $[ \cdot ]$ महत्तम पूर्णांक फलन है और $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n \left[ \frac{k^2}{3^x} \right]$. तो $12 \sum_{j=1}^{\infty} f(j)$ का मान ........... है।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n}\left[\sin \frac{\pi}{2 n}+\sin \frac{2 \pi}{2 n}+\sin \frac{3 \pi}{2 n}+\ldots+\sin \frac{\pi}{2}\right]=$

निश्चित समाकलन की परिभाषा द्वारा, $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित कथनों में से:
$(S1): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}(2+4+6+\ldots+2n)=1$
$(S2): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{16}}(1^{15}+2^{15}+3^{15}+\ldots+n^{15})=\frac{1}{16}$

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1^2}{n^2}\right)\left(1+\frac{2^2}{n^2}\right) \ldots \left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{\frac{1}{n}}=$

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