સરવાળાની મર્યાદા તરીકે $\int_{0}^{2} e^{x} d x$ ની કિંમત શોધો.

(N/A) ધારો કે $I = \int_{0}^{2} e^{x} d x$.
અહીં,$a = 0$ અને $b = 2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $h = \frac{b-a}{n}$,તેથી $nh = 2 - 0 = 2$.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\int_{a}^{b} f(x) d x = \lim_{n \to \infty} h \sum_{r=0}^{n-1} f(a + rh)$.
અહીં,$f(x) = e^{x}$,તેથી $f(0 + rh) = e^{rh}$.
આમ,$I = \lim_{n \to \infty} h \sum_{r=0}^{n-1} e^{rh} = \lim_{n \to \infty} h [1 + e^{h} + e^{2h} + \dots + e^{(n-1)h}]$.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં $n$ પદો છે,પ્રથમ પદ $1$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $e^{h}$ છે.
$I = \lim_{n \to \infty} h \left[ \frac{1(e^{nh} - 1)}{e^{h} - 1} \right] = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{e^{nh} - 1}{\frac{e^{h} - 1}{h}} \right)$.
જેમ કે $nh = 2$,જ્યારે $n \to \infty$,ત્યારે $h \to 0$.
$I = \frac{e^{2} - 1}{\lim_{h \to 0} \frac{e^{h} - 1}{h}} = \frac{e^{2} - 1}{1} = e^{2} - 1$.