lim _{n rightarrow infty} frac{1}{2^{n}}left( | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે આપેલ લક્ષ $I = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}} \sum_{r=1}^{2^{n}-1} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{r}{2^{n}}}}$ છે.$2^{n} = t$ આદેશ લ

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે આપેલ લક્ષ $I = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}} \sum_{r=1}^{2^{n}-1} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{r}{2^{n}}}}$ છે.$2^{n} = t$ આદેશ લેતા,જ્યારે $n \rightarrow \infty$ ત્યારે $t \rightarrow \infty$ થાય.આથી પદાવલિ $I = \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \sum_{r=1}^{t-1} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{r}{t}}}$ બને છે.આ રીમાન સરવાળાના સ્વરૂપ $\int_{0}^{1} f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n})$ માં છે.અહીં,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$.તેથી,$I = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx$.$u = 1-x$ લેતા,$du = -dx$ મળે. જ્યારે $x=0, u=1$ અને જ્યારે $x=1, u=0$ થાય.$I = \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (-du) = \int_{0}^{1} u^{-1/2} du$.$I = [2u^{1/2}]_{0}^{1} = 2(1) - 2(0) = 2$.

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2^{n}}}}+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2}{2^{n}}}}+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{3}{2^{n}}}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2^{n}-1}{2^{n}}}}\right)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2^2}{n^2}\right) \ldots\left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{\frac{1}{n}}=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{r=1}^n\left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)^{\frac{2 r}{n^2}}$ ની કિંમત કેટલી થાય?

નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^2}{1^3+n^3}+\frac{2^2}{2^3+n^3}+\ldots+\frac{n^2}{n^3+n^3}\right]$ ની કિંમત શોધો.

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2} = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module