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Question

(C) माना दिया गया सीमा $I = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}} \sum_{r=1}^{2^{n}-1} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{r}{2^{n}}}}$ है।$2^{n} = t$ प्रति

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$2$

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(C) माना दिया गया सीमा $I = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}} \sum_{r=1}^{2^{n}-1} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{r}{2^{n}}}}$ है।$2^{n} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जब $n \rightarrow \infty$ तब $t \rightarrow \infty$ होता है।व्यंजक $I = \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \sum_{r=1}^{t-1} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{r}{t}}}$ बन जाता है।यह रीमान योग के रूप $\int_{0}^{1} f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n})$ में है।यहाँ,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$ है।अतः,$I = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx$ है।$u = 1-x$ लेने पर,$du = -dx$ प्राप्त होता है। जब $x=0, u=1$ और जब $x=1, u=0$ होता है।$I = \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (-du) = \int_{0}^{1} u^{-1/2} du$ है।$I = [2u^{1/2}]_{0}^{1} = 2(1) - 2(0) = 2$।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2^{n}}}}+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2}{2^{n}}}}+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{3}{2^{n}}}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2^{n}-1}{2^{n}}}}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2^2}{n^2}\right) \ldots\left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n}=k$ है,तो $\log k=$

$\int_0^3 (2+x^2) dx = $

निम्नलिखित कथनों में से:
$(S1): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}(2+4+6+\ldots+2n)=1$
$(S2): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{16}}(1^{15}+2^{15}+3^{15}+\ldots+n^{15})=\frac{1}{16}$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{1}{n} + \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} }} + \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + 2n} }} + \dots + \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + (n - 1)n} }}} \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a$ और $b$ धनात्मक पूर्णांक हैं जैसे कि $b > a$,तो $\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{na} + \frac{1}{na + 1} + \frac{1}{na + 2} + \dots + \frac{1}{nb} \right] = $

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