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Question

(B) माना $y = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n^2 + kn}}$.हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:$y = \mathop {\li

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$2\sqrt{2} - 2$

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(B) माना $y = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n^2 + kn}}$.हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:$y = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n\sqrt{1 + \frac{k}{n}}}$.यह $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}ight)$ के रूप में एक रीमान योग (Riemann sum) है,जहाँ $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}}$.यह सीमा निश्चित समाकल (definite integral) के बराबर है:$y = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+x}} dx$.समाकल का मूल्यांकन करने पर:$y = [2\sqrt{1+x}]_{0}^{1}$.$y = 2\sqrt{1+1} - 2\sqrt{1+0}$.$y = 2\sqrt{2} - 2$.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{1}{n} + \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} }} + \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + 2n} }} + \dots + \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + (n - 1)n} }}} \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

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योगफल की सीमा के रूप में $\int_{0}^{2} e^{x} dx$ का मूल्यांकन कीजिए।

निम्नलिखित निश्चित समाकल का योगफल की सीमा के रूप में मान ज्ञात कीजिए:
$\int_{0}^{4} (x + e^{2x}) \, dx$

निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^2}{1^3+n^3}+\frac{2^2}{2^3+n^3}+\ldots+\frac{n^2}{n^3+n^3}\right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \left( \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+4)^{3}}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+8)^{3}}}+\cdots +\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{[n+4(n-1)]^{3}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\frac{n}{n^2+3^2}+\ldots+\frac{n}{n^2+(2n)^2}\right)=$

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