निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,lim _{n r | vedclass

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Question

(B) दी गई सीमा $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^2}{r^3+n^3}$ है।हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{

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$\log \sqrt[3]{2}$

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(B) दी गई सीमा $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^2}{r^3+n^3}$ है।हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^2}{n^3( (r/n)^3 + 1 )}$ के रूप में लिख सकते हैं।$n$ से गुणा और भाग करने पर,हमें $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{(r/n)^2}{(r/n)^3 + 1}$ प्राप्त होता है।निश्चित समाकलन की परिभाषा $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{1} f(x) dx$ का उपयोग करते हुए,$S = \int_{0}^{1} \frac{x^2}{x^3+1} dx$ प्राप्त होता है।माना $u = x^3+1$,तो $du = 3x^2 dx$,जिसका अर्थ है $x^2 dx = \frac{du}{3}$।जब $x=0$,तो $u=1$। जब $x=1$,तो $u=2$।अतः,$S = \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} [\ln |u|]_{1}^{2} = \frac{1}{3} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{3} \ln 2 = \ln 2^{1/3} = \log \sqrt[3]{2}$।

निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^2}{1^3+n^3}+\frac{2^2}{2^3+n^3}+\ldots+\frac{n^2}{n^3+n^3}\right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{1}^{99}}+{{2}^{99}}+{{3}^{99}}+......{{n}^{99}}}{{{n}^{100}}}=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{2 n-1} \frac{n^{2}}{n^{2}+4 r^{2}}$ का मान है:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{n + 1}}{{{n^2} + {1^2}}} + \frac{{n + 2}}{{{n^2} + {2^2}}} + \frac{{n + 3}}{{{n^2} + {3^2}}} + \dots + \frac{1}{n}} \right) = $

निम्नलिखित निश्चित समाकल का योगफल की सीमा के रूप में मान ज्ञात कीजिए: $\int_{-1}^{1} e^{x} dx$

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