a in mathbb{R} (બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ) મા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B,D) આપેલ લક્ષ $L = \lim_{n 	o \infty} \frac{\sum_{r=1}^n r^a}{(n+1)^{a-1} \sum_{r=1}^n (na+r)}$ છે.પ્રથમ,છેદનો સરવાળો ગણીએ: $\sum_{r=1}^n (na+r) =

Vedclass · Accepted Answer

$5$

Vedclass · Answer

(B,D) આપેલ લક્ષ $L = \lim_{n 	o \infty} \frac{\sum_{r=1}^n r^a}{(n+1)^{a-1} \sum_{r=1}^n (na+r)}$ છે.પ્રથમ,છેદનો સરવાળો ગણીએ: $\sum_{r=1}^n (na+r) = n^2a + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{2n^2a + n^2 + n}{2} = \frac{n^2(2a+1) + n}{2}$.આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા:$L = \lim_{n 	o \infty} \frac{\sum_{r=1}^n r^a}{(n+1)^{a-1} \cdot \frac{n^2(2a+1) + n}{2}} = \lim_{n 	o \infty} \frac{2 \sum_{r=1}^n r^a}{(n+1)^{a-1} n^2(2a+1) (1 + \frac{1}{n(2a+1)})}$.જેમ $n 	o \infty$,$(n+1)^{a-1} \approx n^{a-1}$ થાય,તેથી:$L = \lim_{n 	o \infty} \frac{2 \sum_{r=1}^n r^a}{n^{a-1} n^2 (2a+1)} = \lim_{n 	o \infty} \frac{2 \sum_{r=1}^n r^a}{n^{a+1} (2a+1)} = \frac{2}{2a+1} \lim_{n 	o \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \left(\frac{r}{n}ight)^a$.નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા $\int_0^1 x^a dx = \frac{1}{a+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:$L = \frac{2}{(2a+1)(a+1)} = \frac{1}{60}$.તેથી,$(2a+1)(a+1) = 120 \implies 2a^2 + 3a + 1 = 120 \implies 2a^2 + 3a - 119 = 0$.દ્વિઘાત સૂત્ર $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા:$a = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(2)(-119)}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 952}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{961}}{4} = \frac{-3 \pm 31}{4}$.આમ,$a = \frac{28}{4} = 7$ અથવા $a = \frac{-34}{4} = \frac{-17}{2}$.તેથી,$a$ ની કિંમતો $7$ અને $\frac{-17}{2}$ છે.

$a \in \mathbb{R}$ (બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ) માટે,$a \neq -1$,જો $\lim_{n \to \infty} \frac{1^a + 2^a + \dots + n^a}{(n+1)^{a-1}[(na+1) + (na+2) + \dots + (na+n)]} = \frac{1}{60}$ હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{n^2}{(n+1)^3}+\frac{n^2}{(n+2)^3}+\frac{n^2}{(n+3)^3}+\ldots+\frac{n^2}{(n+4n)^3}\right]=$

જો $a = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2n}{n^2+k^2}$ અને $f(x) = \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}$,$x \in (0, 1)$,હોય તો:

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{4}{n^2}\right)\left(1+\frac{9}{n^2}\right) \ldots \left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n}=$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( \frac{1^2}{1^3 + n^3} + \frac{2^2}{2^3 + n^3} + \dots + \frac{n^2}{n^3 + n^3} \right)$ ની કિંમત શોધો.

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n (k^2 x)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module