int_{5 pi}^{25 pi}|sin 2 x+cos 2 x| d x= (sqr | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{5 \pi}^{25 \pi} |\sin 2x + \cos 2x| dx$. हम जानते हैं कि $\sin 2x + \cos 2x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x + \frac{1

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$40$

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(C) माना $I = \int_{5 \pi}^{25 \pi} |\sin 2x + \cos 2x| dx$. हम जानते हैं कि $\sin 2x + \cos 2x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x ight) = \sqrt{2} \sin(2x + \frac{\pi}{4})$. अतः,$I = \int_{5 \pi}^{25 \pi} |\sqrt{2} \sin(2x + \frac{\pi}{4})| dx = \sqrt{2} \int_{5 \pi}^{25 \pi} |\sin(2x + \frac{\pi}{4})| dx$. माना $2x + \frac{\pi}{4} = t$,तो $2 dx = dt$,अर्थात $dx = \frac{dt}{2}$. जब $x = 5\pi$,तब $t = 10\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{41\pi}{4}$. जब $x = 25\pi$,तब $t = 50\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{201\pi}{4}$. $I = \frac{\sqrt{2}}{2} \int_{41\pi/4}^{201\pi/4} |\sin t| dt$. $|\sin t|$ का आवर्तकाल $\pi$ है। अंतराल की लंबाई $\frac{201\pi}{4} - \frac{41\pi}{4} = \frac{160\pi}{4} = 40\pi$ है। चूंकि $|\sin t|$ का एक आवर्तकाल $[0, \pi]$ पर समाकलन $\int_0^{\pi} \sin t dt = 2$ है,इसलिए $40$ आवर्तकालों पर समाकलन $40 	imes 2 = 80$ होगा। अतः,$I = \frac{\sqrt{2}}{2} 	imes 80 = 40\sqrt{2}$.

$\int_{5 \pi}^{25 \pi}|\sin 2 x+\cos 2 x| d x=$ ($\sqrt{2}$ में)

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