alpha 0 के लिए int_{-pi}^{pi} frac{cos^2 x} | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1+\alpha^x} \, dx$ --- $(i)$गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ का उपयोग क

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$\frac{\pi}{2}$

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(D) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1+\alpha^x} \, dx$ --- $(i)$गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2(-x)}{1+\alpha^{-x}} \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1+\frac{1}{\alpha^x}} \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\alpha^x \cos^2 x}{\alpha^x + 1} \, dx$ --- $(ii)$$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:$2I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x + \alpha^x \cos^2 x}{1+\alpha^x} \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x(1+\alpha^x)}{1+\alpha^x} \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 x \, dx$चूँकि $\cos^2 x$ एक सम फलन है,$2I = 2 \int_{0}^{\pi} \cos^2 x \, dx$$I = \int_{0}^{\pi} \cos^2 x \, dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1+\cos 2x}{2} \, dx = \left[ \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} \right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{2} + 0 - (0 + 0) = \frac{\pi}{2}$

$\alpha > 0$ के लिए $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1+\alpha^x} \, dx$ का मान है

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समाकलन $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(x^2 + \log \frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cos x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x \cdot \operatorname{cosec} x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलन $\int_{0}^{\pi} \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int_{-a}^{a} (|x| + |x-2|) dx = 22$,$(a > 2)$ और $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ को दर्शाता है,तो $\int_{a}^{-a} (x + [x]) dx$ का मान ........... है।

$\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x-\cos x}{1-\sin x \cdot \cos x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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