$12$ દડાઓને $3$ પેટીઓમાં વહેંચવામાં આવે છે. પ્રથમ પેટીમાં બરાબર $3$ દડા હોય તેની સંભાવના કેટલી?

એક કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામમાં બે મોડ્યુલ $X$ અને $Y$ છે અને તેમાં ભૂલો સ્વતંત્ર રીતે થાય છે. $X$ માં ભૂલ થવાની સંભાવના $0.1$ છે અને $Y$ માં ભૂલ થવાની સંભાવના $0.3$ છે. જો માત્ર $X$ માં ભૂલ પ્રોગ્રામને $0.5$ સંભાવના સાથે ક્રેશ કરે, માત્ર $Y$ માં ભૂલ પ્રોગ્રામને $0.7$ સંભાવના સાથે ક્રેશ કરે અને $X$ અને $Y$ બંનેમાં ભૂલ પ્રોગ્રામને $0.8$ સંભાવના સાથે ક્રેશ કરે, તો પ્રોગ્રામ ક્રેશ થવાની સંભાવના કેટલી છે?

એક ખેલાડી $X$ પાસે પક્ષપાતી સિક્કો છે જેની છાપ (heads) આવવાની સંભાવના $p$ છે અને ખેલાડી $Y$ પાસે નિષ્પક્ષ સિક્કો છે. તેઓ પોતપોતાના સિક્કાઓ સાથે રમત શરૂ કરે છે અને વારાફરતી રમે છે. જે ખેલાડી પહેલા છાપ મેળવે છે તે વિજેતા બને છે. જો $X$ રમત શરૂ કરે છે,અને બંને ખેલાડીઓ દ્વારા રમત જીતવાની સંભાવના સમાન હોય,તો $p$ નું મૂલ્ય શું છે?

ગણ $\{1, 2, 3, \ldots, 40\}$ માંથી ત્રણ ભિન્ન સંખ્યાઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. જો પસંદ કરેલી સંખ્યાઓ વધતા $G.P.$ માં હોય તેની સંભાવના $\frac{m}{n}$ હોય,જ્યાં $\operatorname{gcd}(m, n) = 1$,તો $m + n$ ની કિંમત . . . . . . છે.

જો $E$ અને $F$ એવી ઘટનાઓ હોય કે જેમાં $P(E) \le P(F)$ અને $P(E \cap F) > 0$ હોય,તો

એક નિષ્પક્ષ સિક્કો ઉછાળવામાં આવે છે. જો પરિણામ છાપ (head) હોય,તો બે નિષ્પક્ષ પાસા ફેંકવામાં આવે છે અને બંને સપાટી પરના અંકોનો સરવાળો નોંધવામાં આવે છે. જો પરિણામ કાંટો (tail) હોય,તો $2, 3, 4, \dots, 12$ અંકિત કરેલા અગિયાર કાર્ડના પેકમાંથી એક કાર્ડ પસંદ કરવામાં આવે છે અને કાર્ડ પરનો અંક નોંધવામાં આવે છે. નોંધાયેલ અંક $7$ અથવા $8$ હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?