एक छात्र को परीक्षा में $13$ में से $10$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं,जिसमें उसे पहले $6$ प्रश्नों में से कम से कम $5$ प्रश्न चुनने हैं। छात्र के पास उपलब्ध विकल्पों की संख्या है:

एक कमरे में $10$ बल्ब हैं। उनमें से प्रत्येक को स्वतंत्र रूप से चालू किया जा सकता है। कमरा कितने तरीकों से प्रकाशित किया जा सकता है?

$5$ व्यंजनों और $4$ स्वरों में से $3$ व्यंजन और $2$ स्वर लेकर कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?

एक छात्र को $(2n+1)$ पुस्तकों के संग्रह से कम से कम $(n+1)$ पुस्तकें चुनने की अनुमति है,लेकिन सभी पुस्तकें नहीं। यदि इन पुस्तकों को चुनने के कुल तरीकों की संख्या $255$ है,तो उस संग्रह में पुस्तकों की संख्या क्या है?

एक व्यक्ति के $7$ मित्र हैं। वह उनमें से एक या अधिक को चाय पार्टी के लिए कितने तरीकों से आमंत्रित कर सकता है?

यदि $1 \times 1! + 2 \times 2! + 3 \times 3! + \ldots + n \times n! = 11! - 1$ है,तो ${}^n C_r$ का अधिकतम मान क्या है?