sum_{k=1}^{infty} frac{1}{k!}left(sum_{n=1}^k | vedclass

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Question

(D) आंतरिक योग एक गुणोत्तर श्रेणी है: $\sum_{n=1}^k 2^{n-1} = \frac{1(2^k - 1)}{2 - 1} = 2^k - 1$. मुख्य व्यंजक में यह मान रखने पर: $\sum_{k=1}^{\inft

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$e^2-e$

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(D) आंतरिक योग एक गुणोत्तर श्रेणी है: $\sum_{n=1}^k 2^{n-1} = \frac{1(2^k - 1)}{2 - 1} = 2^k - 1$. मुख्य व्यंजक में यह मान रखने पर: $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k - 1}{k!} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k!} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!}$. हम जानते हैं कि टेलर श्रेणी का विस्तार $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$ होता है,इसलिए $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x - 1$. पहले भाग के लिए,$x = 2$: $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k!} = e^2 - 1$. दूसरे भाग के लिए,$x = 1$: $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1^k}{k!} = e^1 - 1 = e - 1$. इन दोनों को घटाने पर: $(e^2 - 1) - (e - 1) = e^2 - 1 - e + 1 = e^2 - e$.

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!}\left(\sum_{n=1}^k 2^{n-1}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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