f:[-2,2] rightarrow[-2,2] और g:[-2,2] rightar | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} -2, & -2 \leq x \leq 0 \ x^2-2, & 0 \leq x \leq 2 \end{cases}$.$f(x)$ के लिए, परिसर $[-2, 2]$ है। चूँकि सभी $x

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$f$ एकैकी और आच्छादक फलन नहीं है और $g$ आच्छादक फलन है

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} -2, & -2 \leq x \leq 0 \ x^2-2, & 0 \leq x \leq 2 \end{cases}$.$f(x)$ के लिए, परिसर $[-2, 2]$ है। चूँकि सभी $x \in [-2, 0]$ के लिए $f(x) = -2$ है, इसलिए $f$ एकैकी (injective) नहीं है। अतः, $f$ एकैकी और आच्छादक (bijective) नहीं है।अब, $g(x) = |f(x)| + f(|x|)$.यदि $-2 \leq x \leq 0$, तो $|x| \in [0, 2]$, इसलिए $f(|x|) = |x|^2 - 2 = x^2 - 2$. साथ ही $f(x) = -2$, इसलिए $|f(x)| = 2$. अतः $g(x) = 2 + x^2 - 2 = x^2$.यदि $0 \leq x \leq 2$, तो $|x| = x$, इसलिए $f(|x|) = f(x) = x^2 - 2$. अतः $g(x) = |x^2 - 2| + x^2 - 2$.$0 \leq x \leq \sqrt{2}$ के लिए, $x^2 - 2 \leq 0$, इसलिए $g(x) = -(x^2 - 2) + x^2 - 2 = 0$.$\sqrt{2}  0$, इसलिए $g(x) = (x^2 - 2) + x^2 - 2 = 2(x^2 - 2)$.अतः, $g(x) = \begin{cases} x^2, & -2 \leq x \leq 0 \ 0, & 0 \leq x \leq \sqrt{2} \ 2(x^2-2), & \sqrt{2} $g(x)$ का परिसर $[0, 4]$ है, जो सह-प्रांत के बराबर है, इसलिए $g$ आच्छादक फलन है। चूँकि $x \in [0, \sqrt{2}]$ के लिए $g(x) = 0$ है, इसलिए $g$ एकैकी फलन नहीं है।

$f:[-2,2] \rightarrow[-2,2]$ और $g:[-2,2] \rightarrow[0,4]$ दो फलन हैं जो $f(x)=\begin{cases} -2, & -2 \leq x \leq 0 \\ x^2-2, & 0 \leq x \leq 2 \end{cases}$ और $g(x)=|f(x)|+f(|x|)$ के रूप में परिभाषित हैं, तो

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$f(x) = \log \left( \left( \frac{2x^2 - 3}{x} \right) + \sqrt{\frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|}} \right)$ है

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