int frac{1+x+sqrt{x+x^2}}{sqrt{x}+sqrt{1+x}} | vedclass

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Question

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{1+x+\sqrt{x+x^2}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}} d x$ है। अंश को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $1+x+\sqrt{x(1+x)} = \sqrt{1+x}

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2}{3}(1+x)^{3 / 2}+C$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{1+x+\sqrt{x+x^2}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}} d x$ है। अंश को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $1+x+\sqrt{x(1+x)} = \sqrt{1+x} \cdot \sqrt{1+x} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{1+x}$। $\sqrt{1+x}$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x} + \sqrt{x})$। इस मान को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x} + \sqrt{x})}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}} d x$। अंश और हर से $(\sqrt{x}+\sqrt{1+x})$ पद कट जाएगा। अतः, $I = \int \sqrt{1+x} d x$। घात नियम $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ का उपयोग करने पर: $I = \frac{(1+x)^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}(1+x)^{3/2} + C$।

$\int \frac{1+x+\sqrt{x+x^2}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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