I_{m, n} = int x^m (log x)^n , dx = | vedclass

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Question

(A) दिया गया है, $I_{m, n} = \int x^m (\log x)^n \, dx$. खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए, मान लीजिए $u = (\log x)^n$ और $dv = x^

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$\frac{x^{m+1}}{m+1} (\log x)^n - \frac{n}{m+1} I_{m, n-1}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है, $I_{m, n} = \int x^m (\log x)^n \, dx$. खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए, मान लीजिए $u = (\log x)^n$ और $dv = x^m \, dx$. तब $du = n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} \, dx$ और $v = \frac{x^{m+1}}{m+1}$ प्राप्त होता है। सूत्र $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करने पर: $I_{m, n} = (\log x)^n \cdot \frac{x^{m+1}}{m+1} - \int \frac{x^{m+1}}{m+1} \cdot n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} \, dx$. $I_{m, n} = \frac{x^{m+1}}{m+1} (\log x)^n - \frac{n}{m+1} \int x^m (\log x)^{n-1} \, dx$. चूंकि $I_{m, n-1} = \int x^m (\log x)^{n-1} \, dx$, इसलिए हमें प्राप्त होता है: $I_{m, n} = \frac{x^{m+1}}{m+1} (\log x)^n - \frac{n}{m+1} I_{m, n-1}$.

$I_{m, n} = \int x^m (\log x)^n \, dx =$

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